Уравнение малых поперечных колебаний струны

Каждую точку струны l можно охарактеризовать значение её абсциссы x. Описание процесса колебания струны может быть проведено при помощи задания положения точек струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения {u1 (x,t), u2(x,t), u 3(x,t)} точки x в момент t.

Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (x,u) и что вектор смещения u перпендикулярен в любой момент к оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией u(x,t), характеризующей вертикальное перемещение струны. Будем рассматривать струну как гибкую упругую нить. Математической выражение понятия гибкости заключается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю (рис. 1). Это условие выражает собой то, что струне не сопротивляется изгибу.

Величина натяжения, возникающего в струне вследствие упругости, может быть вычислена по закону Гука. Будем рассматривать малые колебания струны и пренебрегать квадратом ux по сравнению с единицей.

Пользуясь этим условием, подсчитаем удлинение, испытываемое участком струны (x1 ,x2). Длина дуги этого участка равна

Таким образом, в пределах принятой нами точности удлинения участков струны в процессе колебания не происходит; отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения T в каждой точке не меняется со временем. Покажем также, что натяжение не зависит и от x, т. е.

Найдем проекции натяжения на оси x и u (обозначим их Tx и Tu):

где α – угол касательной к кривой u(x,t) с осью x. На участок (x1, x2) действуют силы натяжения, внешние силы и силы инерции. Сумма проекции всех сил на ось x должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания). Так как силы инерции и внешние силы по предположению направлены вдоль оси u, то

(1)

Отсюда в силу произвольности x1 и x2 следует, что натяжение не зависит от x, т. е. для всех значений x и t

(2)

Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний струны. Воспользуемся вторым законом Ньютона. Составляющая количества движения участка струны (x1, x2) по оси u равна

где ρ – линейная плотность струны. Приравняем изменение количества движения за промежуток времени ∆t = t2 - t1

импульсу действующих сил, складывающихся из натяжения

в точках x1 и x2 и внешней силы, которую будем считать непрерывно распределенной с плотностью (нагрузкой) F(x, t), рассчитанной на единицу длины. В результате получим уравнение поперечных колебаний элемента струны в интегральной форме

(3)

Для перехода к дифференциальному уравнению предположим существование и непрерывность вторых производных от u(x, t). Тогда фотмула (3) после двукратного применения теоремы о среднем примет вид